Magyar Tudomány, 2008/11 1350. o.

Az idő a földtudományokban

Mindennapi tér-időnk¹

1. Bevezetés

A fizikus szívesen beszél az óráról, amely mértéket rendel az időhöz. A tökéletes óra megmutatja számára a tökéletesen egyenletesen folyó időt. Száz éve már azt is tudja, hogy az óra járása megváltozni látszik, a sebesség és a környező anyagtömegek hatására. Napjainkra az idő lett a legpontosabban mérhető fizikai mennyiség. A hosszúság mértékegységét, a métert is az idő segítségével definiálják.

Cikkünkben az idő szerepével foglalkozunk a földtudományok egy eléggé sajátos területén, a kozmikus geodéziában. Megmutatjuk, hogy az időmérési eszközök tökéletesedése miként járt karöltve a helymeghatározás pontosságának növekedésével, míg napjainkra az időpont és a térbeli pozíció hétköznapi értelemben is egyaránt könnyen hozzáférhetővé váltak.

2. A csillagászati időméréstől

a korszerű időrendszerekig

Az időmérés fogalma és használatos mértékegységei ősidők óta összekapcsolódtak a Föld tengely körüli forgásával és Nap körüli keringésével. A Föld forgásán, illetve a Nap és a csillagok helyzetén alapuló időfogalom a „világidő”. A Föld Nap körüli keringésén nyugszik az „ephemeris idő” fogalma, valamint a naptár és az „időszámítás”. Napórákat már 3500 évvel időszámításunk előtt használtak, és csak a XVI. században jelentek meg olyan mechanikus órák, amelyek működése rugós szerkezeten alapult.

Évszázadokon keresztül egyetlen mester sem volt képes a földforgás stabilitását (10^-8) mechanikus szerkezettel elérni. Így azután minden pontosnak számító órát csillagászati órával hitelesítettek, végső soron a csillagok járásához igazítottak. Csak a XX. század harmincas éveinek végén sikerült olyan elektromos rezgőrendszert létrehozni, amely stabilabb volt a Föld forgásánál (1. ábra). A nyomás alá helyezett kvarckristály soha nem látott állandóságú frekvenciát szolgáltatott. Megerősítést nyert a korábbi évtizedek sejtése, hogy a földforgás évszakosan ingadozik, és szekulárisan lassul. Ám egészen 1956-ig a középnap volt az idő egysége, amelyet a csillagnapból lehetett származtatni, figyelembe véve a tényt, hogy az esztendőben eggyel több a csillagnap, mint a szoláris nap (kb. 366¼, illetve 365¼). A száz évvel ezelőtt tevékenykedő kiváló amerikai csillagász, Simon Newcomb adott képletet a Θ csillagidő és a T szoláris idő közötti átszámításra.

Newcomb nem tudott a Föld lassulásáról, ezért képletét egzaktnak gondolta. A szoláris időt középidőnek nevezte, a kezdőmeridián (Greenwich) középidejét pedig világidőnek. Newcomb képletét – korszerűsített formában – ma is használjuk. Csillagidőből „szoláris arculatú” időskálát származtatunk, amelyet szigorúan világidőnek nevezünk (Aoki et al., 1982). A csillagidő pusztán a Föld szöghelyzetét jelenti, pályamenti pozícióját nem. Így azután a világidő sincs kapcsolatban a valóságos Nap helyzetével. A Nap pozíciójából levezethető középidő ma már csak tudománytörténeti érdekesség.

„Ne légy szeles. Bár munkádon más keres – dolgozni csak pontosan, szépen, ahogy a csillag megy az égen, úgy érdemes.”

A költő sorait napjainkban is idézik, mert a csillag járása ma is a pontosság szimbóluma. Ám profán módon szemlélve a verset megállapíthatjuk, hogy a földforgás egyenetlenségének felismerése megfosztott bennünket a pontosság eme ideájától. 1956-ban az ember újra definiálta a másodpercet, amely addig a közepes nap 86 400-ad része volt. Az új értelmezésben a másodperc a tropikus év töredéke, annak pontosan 1 / 31 556 325,9747-ed része. A hozzá kapcsolódó skála pedig az ún. efemeris idő (ET), amely 1984 ig szolgált az egyenletesen folyó idő megjelenítésére.

Az ötvenes évek közepén Louis Essen és munkatársai az angliai Teddingtonban elkészítették az első nagy precizitású cézium sugaras rezonátort. Noha akkoriban még sem az efemeris idő, sem pedig az atomi idő nem volt szabványosított inercia idő, sokat próbálkoztak a kétféle skála összehangolásával. Úgy tűnt, hogy a cézium atomban a (4,0) --> (3,0) átmenethez tartozó elektromágneses sugárzás frekvenciája (nulla mágneses térerősség esetén) 9 192 631 770 ± 20 ciklus (efemeris) másodpercenként. Kezdetben még az epochát is följegyezték a ciklusok mellé, mert bizonyos elméletek 10 ^-10 nagyságrendű relatív frekvenciaváltozást jósoltak.

1958-ban nemzetközi program kezdődött a cézium rezonátorok összehasonlítására. A több mint egy évig tartó vizsgálat megmutatta, hogy ± 2×10 ¹⁰ relatív pontossággal a rezonátorok frekvenciáját azonos szinten lehet tartani. Közel egy évtizeddel később – 1967-ben – a Nemzetközi Súly és Mértékügyi Hivatal (BIPM) a 9 192 631 770 Hz es frekvenciát szabványosította az atomi másodperc definíciójában.

Az első (kísérleti) atomi időskálát (A1) a US Naval Observatory vezette be. Nullpontját 1958. január 1 én 0 ^h 0 ^m 0 ^s világidőre tették. Ekkor az A1 skálán 0 ^h 0 ^m 0 ^s értéket „állítottak be”. Később más epochákat is realizáltak. A BIPM például létrehozta az A3 jelű atomidő skálát, amelynek nullpontja kb. 34,4 milliszekundummal későbbi az A1 nél. Az A3 hoz igazították később a nemzetközi atomidőt (International Atomic Time: TAI).

Ma az atomidő-skálát több mint kétszáz atomóra tartja fenn a Föld különböző laboratóriumaiban. Közöttük találjuk az Országos Mérésügyi Hivatal Hewlett-Packard gyártmányú cézium „etalonját” is. A TAI képzéséhez az órákat különféle súllyal veszik számításba. A követelmények igen szigorúak. Újraindítás esetén például az óra hónapokig csak zérus súlyt kaphat. A nemzetközi atomidő fenntartásáról, az egyes órák működéséről, az összehasonlítási műveletekről a BIPM körleveleiből, honlapjáról vagy az évkönyvéből értesülhetünk.

Az atomidő nem csillagászati időskála, hiszen nincs köze sem a Föld forgásához, sem pedig a keringéséhez. Ennek ellenére a 60, 3600, illetve 86 400 atomi másodpercet szokás percnek, órának és napnak nevezni. Az atomórák megbízható működése, a jó reprodukálhatóság és a kényelmes „leolvasás” háttérbe szorította a csillagászati úton nehézkesen meghatározható efemeris időt. Amennyiben az alapvető fizikai konstansok változatlanságát elfogadjuk, az efemeris időt az atomidőhöz köthetjük: TDT = TAI + 32,184 s. A Nemzetközi Csillagászati Unió (IAU) 1976-ban Grenoble-ban megtartott közgyűlése ajánlásként meg is fogalmazta a földi dinamikai időskálát (TDT), amely gyakorlatilag alkalmas az efemeris idő felváltására. 1984-től a csillagászati évkönyvek független változója az ET helyett a TDT lett.

Az IAU 1991-es közgyűlése még tovább lépett, és relativisztikus szemléletű időskálákat fogadott el. Különbséget tett a sajátidő és a koordinátaidő között. Figyelembe vette, hogy az atomóra által realizált sajátidő a koordinátarendszer transzformációja után más mértékszámot kaphat. Ugyanez a közgyűlés törölte a földi dinamikai idő TDT-megnevezésből a „dinamikai” szót, és bevezette a TT-jelölést. Az egységes földi idő TT képzéséhez előírta, hogy a Föld felszínén működő atomórák járását a tengerszint (geoid) potenciáljára kell redukálni. A teljes földi gravitációs potenciál eltávolítása után a geocentrikus koordinátaidő (TCG) nyerhető.

A Nap gravitációs terének és a Föld pályamenti mozgásának figyelembe vételével lehet előállítani a baricentrikus koordinátaidőt (TCB), amely a Naprendszer egészéhez rendelhető legtökéletesebb inerciaidő. A relativisztikus idődilatáció miatt a baricentrikus órán száz év alatt 47 másodperccel több pereg le, mint a földi órákon.

Napjainkban a pontos idő kifejezés két fogalmat is jelenthet: atomidőt és világidőt. A párizsi székhelyű Nemzetközi Földforgás Szolgálat (IERS) fogja össze a Föld rotációjára vonatkozó kutatásokat, és publikálja a Föld szöghelyzetét.

A pontos idő szolgáltatása elsősorban a koordinált világidő (UTC) közzétételét jelenti. Az UTC szerencsés hibrid időskála, amelyből könnyen származtatható mind az atomidő, mind pedig a világidő (UT1). 1972 óta az UTC definíció szerint pontosan egész számú másodpercben tér el a TAI-tól, és egy másodpercen belül közelíti a világidőt. A TAI – UTC differencia 1972 elején még 10 s volt, napjainkra azonban 33 másodpercre nőtt (2. ábra). A jelenség okára a 3. ábra ad magyarázatot. Az utóbbi évtizedekben a „nap hossza” (length of day = LOD) néhány milliszekundummal meghaladta a korábbi átlagértéket.

Az égitestek helyzetét számoló csillagász az atomidőhöz kötött valamely időskálával, a geodéta, a navigátor, vagy az űrkutató viszont a világidővel dolgozhat, mert ebből tudja meghatározni a Föld szöghelyzetét kifejező csillagidőt.

3. Az idő szerepe a helymeghatározásban

A földrajzi hely két polárkoordinátája közül csak az egyik, a pólustávolság határozható meg egyszerű szögméréssel. A másik leméréséhez a Föld forgása miatt már óra szükséges. Amíg nem volt az embernek pontos órája, a helyét is csak bizonytalanul ismerhette a glóbuszon.

Igen régi szögmérő műszer a hajók navigálására szolgáló szextáns. A tenger alkotta horizont ideális referenciasík, amelyhez köny-nyen mérhető a Nap, a Hold vagy a csillagok szögmagassága. Három jól választott csillag alapján – a klasszikus Sumner-módszer alkalmazásával – a hajó pozíciója meghatározható. A kézben tartott szextáns mérési pontossága aligha érte el a tizedfokot. Tekintve, hogy a közepes földgömbön egy szögperc egy tengeri mérföldnek felel meg, a szextáns-mérés hibája 10 km körüli érték.

A Föld forgása következtében az egyenlítő pontjai 465 métert haladnak másodpercenként. Egyetlen másodpercnyi hiba az idő mérésében közel fél kilométeres pozicionálási hibát jelent. A mi földrajzi szélességünkön 300 m/s a kerületi sebesség. A FÖMI Kozmikus Geodéziai Obszervatóriumának 336 méter hosszú, és közel kelet–nyugat irányú alapvonalának szélső pillérei felett egy másodperc különbséggel delelnek a csillagok. A nyugati pillér 1975 óta az ország hosszúsági főalappontja. A hagyományos méréstechnika alkalmazásával, hetekig tartó gondos munkával is csupán századmásodpercnyi pontosságot lehetett elérni. Kelet–nyugat irányban tehát három méter volt a főalappont bizonytalansága.

4. Szélső pontosságú igények

a kozmikus geodéziában

Az utóbbi három évtizedben a geodézia és az asztrometria forradalmi változáson ment át, főként a mesterséges holdaknak és egy rádiócsillagászati technikának köszönhetően.

A mesterséges holdak geodéziai alkalmazásakor kiemelkedő szerep jut a pontos időmérésnek (Fejes – Mihály, 1976). Ezért érthető, hogy a penci Kozmikus Geodéziai Obszervatórium felállításakor, 1976-ban, az időszolgálat létrehozása az első és legfontosabb feladatok egyike volt. Elsőnek egy nagy precizitású R&S kvarcóra majd egy R&S rubídium atomóra beállítására került sor. Frekvencia etalonunk stabilitása 10^-11 relatív értéknek adódott. Az óráink szinkronitását pedig néhány mikroszekundum pontossággal biztosítottuk.

Rádiócsillagászok a 60-as évek közepén kezdtek kísérletezni rádiófrekvenciás interferometriával több ezer kilométer hosszúságú bázisvonalon. A következő évek fejlődése elvezetett a „Very Long Baseline Interferometry” (VLBI) technika kidolgozásához. A VLBI-technika kulcsa az atomórák alkalmazása volt. Ezekkel sikerült távoli obszervatóriumokban vett rádiójelek koherenciáját biztosítani, ami az interferencia létrejöttének egyik előfeltétele. Egy másik feltétel az órák igen precíz szinkronitása. Tehát nemcsak az órajárásnak, hanem az óraállásnak is egyeznie kellett, igen szűk hibahatárok között.

Napjainkban a VLBI-módszer centiméteres pontossággal ad interkontinentális távolságot, és nanoradián pontosan szögtávolságot pontszerű égi források között. Az asztrometriában elsődleges maradt a természetes rádióforrások VLBI-technikával történő megfigyelése, ugyanakkor a Föld orientációjának vizsgálatára is a legalkalmasabb. A Föld forgásától független inerciarendszer (ICRS) megvalósítása a távoli kvazárok VLBI-megfigyelésén alapszik. Noha a megfigyelőeszközök a forgó és imbolygó Földön helyezkednek el, az ICRS-tengelyei mégis 20 mikro-ívmásodperc pontossággal reprodukálhatók (Arias et al., 1995). A geodéziai és az asztrometriai VLBI számára a milliméter, a pikoszekundum (ps) és a nanoradián jelent megfelelő mértékegységet. Az első kettőt a fénysebesség kapcsolja össze: 299 792 458 m/s. A harmadik mennyiség a Föld mérete alapján értelmezhető szög. A felszín egy centiméteres ívéhez két nanoradián, azaz 300 mikro-ívmásodperc tartozik. A legnagyobb interferometrikus bázisvonalak a Föld átmérőjével mérhetők össze: 10 000 km hosszúak. Itt az egy centiméteres abszolút változás 10^-9 értékű relatív változásnak felel meg. Ívmértékkel kifejezve ez éppen egy nanoradián.

A mesterséges holdak geodéziai célú megfigyelése is szélső pontosságú igényekkel lép fel az időméréssel szemben. Itt két különböző fogalomról kell beszélnünk. Az epocha az időpont fogalma valamilyen konvencionálisan elfogadott időrendszerben, ami analóg a geodéziai pozíció fogalmával. Az idő intervallum – időköz, két esemény között eltelt idő – a távolság fogalmával tekinthető analógnak. A Föld körül keringő mesterséges holdak nagyságrendileg hat-nyolc kilométert tesznek meg másodpercenként, pozíciójuk néhány centiméter pontosságú meghatározásához tehát az epochát néhány mikroszekundum pontossággal kell ismernünk. Az űrgeodézia egyik igen hatékony módszerénél, a lézersugarakat reflektáló holdak távolságára végzett (lézeres) mérések esetében a lézerimpulzus terjedésének időintervallumát tíz pikoszekundum (a másodperc százmilliárdod része) pontossággal kell mérni. A fény ennyi idő alatt 3 milliméter utat tesz meg.

Napjaink műholdakon alapuló globális helymeghatározó rendszere, a GPS, a legszélesebb körben használt űrgeodéziai technika. A pontosság titka itt is a kiváló időmérés. A GPS-holdakon atomórák működnek, a földi vevőkben pedig kvarcórák. A mesterséges holdak pillanatnyi helyzetét a rendszerfenntartó (Department of Defense, USA) szolgáltatja a geocentrikus vonatkoztatási rendszerben. A vevőkészülékek felismerik és megkülönböztetik az egyes GPS-holdakról érkező jeleket. Az időbeli késés távolsággá konvertálható, s az álláspont a műholdak köré vont gömbök metszéséből meghatározható.

Összefoglalásul megállapítható, hogy az űrgeodéziai technikák nem léteznének igen precíz és stabil órák nélkül, földrajzi koordinátáink nem határozhatóak meg a megfelelő precizitású időadatok nélkül.

5. Miből profitálnak a földtudományok?

A „föld óra” pontatlanságainak precíz követéséből, a „nap hossza” (LOD) mérésekből földi, geofizikai folyamatok sokaságára vonatkozóan lehet következtetéseket levonni. A LOD és a Föld forgástengelyének változásából bemenő adatok állnak a Föld belső szerkezetét modellező geofizikusok rendelkezésére. Ennek a felismerésnek hatására a Nemzetközi Földforgás Szolgálat keretében 1998-ban megalakították a Globális Geofizikai Áramlás Központot, melynek speciális irodáiban tanulmányozzák az atmoszférikus és az óceán-cirkuláció, az árapály, a köpeny, a mag és a gravitációs hatások szerepét a földforgás változásaiban. Néhány éve a Nemzetközi Földforgás Szolgálat a geocentrum mozgásának tanulmányozására mérési kampányt szervezett. Figyelemre méltó, hogy a mérési zajból a centiméteres szintű elmozdulás már éppen kiemelkedik. A felszíni észlelőállomások által kifeszített keretben észlelhetővé vált a tömegközéppont mozgása, noha maguk a keretpontok is mozognak a kontinentális táblákkal együtt centiméter/év nagyságrendű sebességgel (Ray, 1999).

A VLBI mérési módszer finomítása várhatóan mindaddig folytatódik, amíg csak leküzdhetetlen akadályok nem lépnek föl. Ez valószínűleg a milliméteres tartományban jelentkezik (Sovers et al., 1998). Itt már a lehető leggondosabban kell figyelembe venni a légköri hatásokat, az ionoszférikus és troposzférikus késést, de nem tekinthetünk el a relativisztikus korrekcióktól sem.

Az IAU XXIV. közgyűlése 2000-ben definitív konstansként fogadta el a geoid potenciálját: U_G= 62 636 856 m²/s². Ez az érték határozza meg a felszíni és a geocentrikus órák járásának arányát, valamint a felszíni és a geocentrikus elhelyezésű méterrudak különbségét. Az IERS 29. kötete számszerűen is megmondja, hogy a két hosszúság-skála 7×10^-10 mértékben (pontosan: L_G=6,969290134×10^-10) tér el egymástól: X_TCG = X_ITRF2000×(1+L_G). A Föld átmérőjét helyettesítve a jobb oldalra, a hosszúságkülönbség 9 mm. Ez az érték összecseng az említett pontossági mérőszámokkal. Szemléletesen szólva nem mindegy, hogy a Föld átmérőjét a geoidon konstruált méterrúddal mérem meg, vagy egy másikkal, amelyet távol a Földtől (vagy éppen a geocentrumban) potenciálmentes helyen készítettek.

6. Paradigmaváltás

Az elmúlt évtizedekben két paradigmaváltásnak lehettünk tanúi. Az egyik a klasszikus fizikához kapcsolódik, a másik a relativisztikushoz. A klasszikus fizika első idő-etalonja a forgó Föld volt, s noha már fél évszázada nem az, a változás következményei még mindig nem mentek át a köztudatba.

A másik alapvető szemléletbeli változás a relativitáselmélettel kapcsolatos. Az elmélet már közel száz éves, de csak az utóbbi évtizedben érvényesült a kozmikus geodéziában. Ez természetesen azzal függ össze, hogy a relativisztikus hatások kimutatására, mérésére ez idő tájt váltak szélesebb körben hozzáférhetővé a megfelelő eszközök. Az IAU közgyűlése a naprendszerbeli események elkülönülésének meghatározására 1991-ben fogadta el a négydimenziós képletet.

Ebben az ívelem négyzete:

A képlet első tagja a térbeli elkülönülést (a távolságot), a második az időbeli differenciát fejezi ki (U a gravitációs potenciál, c a fénysebesség.), s nemcsak a naprendszerbeli órák járását írja le, de számot ad a Föld köré telepített GPS-holdak működéséről is.

A Föld felszínéről – mint potenciálgödörből – kiemelt óra látszólag sietni kezd, ugyanakkor a mozgó óra járása látszólag lelassul. A GPS-holdak esetében mindkét hatás fellép, de távolról sem egyforma mértékben. A felbocsátás előtt a GPS-műhold oszcillátorát nem szabad a névleges frekvenciára hangolni, hanem 4,5×10^-10 arányú késést kell beállítani. Így azután a pályára kerülő műhold atomórája látszólag pontosan jár. Az időmérésre visszavezetett geodéziai mérések is pontossá válnak. Globális méretekben elérhető ma már a centiméteres pontosság.

Az utóbbi fél évszázad során az ember kétszer is újradefiniálta a másodpercet: 1956-ban, amikor otthagyta a forgó Földet, és 1967-ben, amikor szakított a keringő Földdel mint az idő etalonjával. Az atomórák akkori 10^-13 értékű stabilitása a kilencvenes évekre két nagyságrendet javult. 1994-re a passzív hidrogénmézerrel 10^-15, az aktív H-mézerrel 10^-16 stabilitású frekvenciát sikerült előállítani, rövidnek számító, egynapos időtartamra.

7. Mindennapi tér-időnk

Mindennapi életünk számára talán érdektelennek látszik a pontosság és stabilitás ilyen mértékű hajszolása az időmérésben. Ne feledjük el azonban, hogy mindez szükséges feltétele volt a globális navigációs műholdrendszerek létrejöttének és működésének. Azáltal, hogy a pontos helymeghatározást olyan, mindenki számára elérhető eszközzel végezhetünk, mint egy mobiltelefon vagy egy karóra, hihetetlen módon kiterjeszti az alkalmazások körét. A helymeghatározás rövidesen ugyanolyan nélkülözhetetlen lesz mindennapi életünkben, mint a pontos idő ismerete. Most ezt a korszakváltást éljük. A GPS földrajzi pozíciókat képes meghatározni akár cm-es pontossággal. De nemcsak azt. Időt is szolgáltat, mert működése közben maga is szélső pontosságú időadatokat használ. A navigációs műholdrendszerek korában a pontos térbeli pozíció és a pontos idő egyenrangúan és együtt áll rendelkezésünkre.

Kulcsszavak: időfogalom, időskálák, helymeghatározás, kozmikus geodézia, GPS

Irodalom

Aoki, Shinko – Guinot, B. – Kaplan, G. H. – Kinoshita, H. – McCarthy, D. D. – Seidelmann, P. K. (1982): The New Definition of Universal Time. Astronomy & Astrophysics. 105, 359–361.

Arias, Elisa Felicitas – Charlot, P. – Feissel, M. – Lestrade, J-F. (1995): The Extragalactic Reference System of the International Earth Rotation Service, ICRS. Astronomy & Astrophysics. 303, 604–608.

Fejes I. – Mihály Sz. (1976): Időmérés és geodézia. Geodézia és Kartográfia. 28, 347–354.

National Physical Laboratory honlapja: http://www.npl.co.uk

Ray, Jim (ed.) (1999): IERS Analysis Campaign to Investigate Motion of the Geocenter. IERS Technical Note. 25, Observatoire de Paris

Seidelmann, P. Kenneth (1992): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley, California

Soffel, H. Michael (1989): Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and Geodesy. Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg–New York–London–Paris–Tokyo

Sovers, Ojars J. – Fanselow, J. L. – Jacobs, C. S. (1998): Astrometry and Geodesy with Radio Interferometry: Experiments, Models, Results. Reviews of Modern Physics. 70, 1393–1454.

http://arxiv.org/PS_cache/astro-ph/pdf/9712/9712238v1.pdf

¹ A cikk az MTA Földtudományok Osztálya Idő a Földtudományban c. nyilvános osztályülésén 2003. május 7-én elhangzott előadás szerkesztett változata.

Θ =Θ₀ + 8 640 184^s,542 T + 0^s,0929 T² + 36 525^r T
Θ₀ = 2 421 632^d 18^h 38^m 45^s,836
T = d / 36525
epocha: 1900. január 0. JD₀= 2 415 020
d = JD – JD₀ az eltelt napok száma
JD és JD₀ Julián-dátum
h, m, s (a felső indexben): óra, perc, másodperc
r, d (a felső indexben): fordulat, nap

1. ábra • Az órák stabilitásának növekedése az ókortól napjainkig. A földforgás 10^-8 értékű stabilitását először a kvarcórával sikerült felülmúlni 1940 körül. (Soffel, 1989)

2. ábra • A világidő (UT1), a koordinált világidő (UTC) és az atomidő (TAI) eltérése az utóbbi évtizedekben

3. ábra • A nap hosszának változása 1656-tól napjainkig (Seidelmann 1992)

<-- Vissza a 2008/11 szám tartalomjegyzékére

---

<-- Vissza a Magyar Tudomány honlapra

---